齐奥尔科夫斯基火箭方程计算器

康斯坦丁·爱德华多维奇·齐奥尔科夫斯基（1857-1935）是俄罗斯和苏联物理学家和航天理论先驱。他出生于距莫斯科约 500 公里的伊热夫斯科耶村，一生大部分时间生活在距莫斯科约 200 公里的卡卢加。19 世纪 90 年代，他系统地研究了火箭运动理论，并发展了火箭的基本理论，包括使用液体推进剂和建造多级火箭（他称之为“火箭列车”）的想法。齐奥尔科夫斯基推导出公式，该公式建立了火箭速度变化、火箭发动机排气速度以及火箭初始和最终质量之间的关系。

值得注意的是，实现这一发现的工具早在牛顿时代就已经存在。齐奥尔科夫斯基方程的推导正是从牛顿第二和第三运动定律开始的。

与进行过大量火箭实验的美国科学家和工程师罗伯特·H·戈达德不同，齐奥尔科夫斯基的工作只是理论性的。齐奥尔科夫斯基意识到，唯一可行的太空旅行方法是火箭，它依靠反作用原理，因此可以在太空中飞行。在他的短篇小说《地球之外》（俄语：К. Циолковский. «Вне Земли». Повесть）中，旅行者使用多级液体燃料火箭体验了零重力，该小说构思于 19 世纪 90 年代末，并于 1920 年出版。他还建议在长途太空旅行中携带各种绿色植物，以清除航天器大气中的二氧化碳并将其替换为氧气。

飞行四年后，尤里·加加林指出，齐奥尔科夫斯基的书中对太空飞行的因素进行了很好的描述，他在飞行中遇到的因素与他的描述并没有太大不同。齐奥尔科夫斯基梦想着 2017 年的生活将没有战争。不幸的是，与许多其他预测不同，这一预测没有实现。

定义和公式

单级火箭

齐奥尔科夫斯基火箭方程给出了 Δ v (读作delta-vee ) 的估计值，它是执行特定操作（例如从地球发射或改变航天器的轨道）所需的最大速度变化。该方程建立了火箭速度变化 Δ v、火箭发动机有效排气速度v eff以及火箭飞行器的初始质量m 0和最终质量m f之间的关系：

其中

m ₀是含有推进剂的初始总质量（“湿质量”）。

m _f是不含推进剂的最终质量（“干质量”）。

v _eff是有效排气速度，定义为：

其中I _sp是时间（通常为秒）维度的比冲，g ₀是地球表面附近真空中的标准重力加速度。其维度是距离每平方时间，等于 9.806 65 m/s²。

上式中自然对数参数中火箭飞行器的初始质量与最终质量之比 ( m ₀ / m _f  ) 通常称为质量比或推进剂质量比。 请不要将其与推进剂质量分数相混淆，后者是推进剂质量与火箭飞行器的初始质量之比，而后者又由推进剂质量和飞行器的最终质量组成。

质量比是衡量火箭飞行器效率的指标。更高效的飞行器设计将需要更少的燃料来实现目标（例如，从火星发射或进入更高的轨道）。因此，这种飞行器的质量比会更低。同时，更高的质量比将使火箭实现更高的 Δ v 。请注意，在某些教科书中，质量比是以m _f / m ₀的倒数确定的。

由于在实际飞行条件下，除了发动机的推力外，还有其他力作用在火箭飞行器上，由于重力、大气阻力和其他因素造成的损失，火箭在此条件下的速度低于速度增量。因此，齐奥尔科夫斯基火箭方程仅在没有其他力作用于火箭的情况下有效。

比冲的概念类似于汽车的燃油效率，以每加仑英里或每升燃料公里为单位来衡量。在火箭或飞机发动机中，比冲表示每单位推进剂流量的推力。换句话说，它表示在给定时间内相对于所用燃料材料产生的力。它是表征任何火箭或喷气发动机及其推进剂或燃料性能的重要值。

比冲越大，性能越好，即在给定重量下可以产生更多功率。比冲越高，在给定时间内产生给定推力所需的推进剂就越少。火箭或飞机发动机的比冲是发动机在地球重力加速度 g 0 下能够提供等于总推进剂（对于火箭）或燃料（对于飞机）质量的推力的总秒数。

换句话说，以秒为单位的比冲可以被认为是这种推进剂和发动机的组合在标准重力加速度（即其重量）下可以加速其自身初始质量的时间。加速其自身初始质量的时间越长，可以实现的速度变化就越大。

例如波音787梦想飞机使用的GE GEnx-1B70发动机的比冲为12650秒-1，而火箭发动机的比冲则要低得多，例如土星五号火箭（如图）使用的F-1火箭发动机的比冲仅为260秒-1。

肯尼迪航天中心游客中心展出的土星五号火箭上安装的 F-1 发动机；其比冲为 260 秒

Delta-v 是一个标量，具有速度的量纲。它与飞行器速度的物理变化不同。只有当发动机的推力以恒定方向施加时（不改变航天器的偏航和俯仰），Δv 才会简化为速度变化的幅度。

下面是不同有效速度的齐奥尔科夫斯基方程的图：

不同有效速度的齐奥尔科夫斯基方程图

多级火箭

单级火箭所能携带的有效载荷非常有限。即使是用于将有效载荷运送到低地球轨道（低地球轨道，160 至 2000 公里）的单级火箭也会非常大，其有效载荷将保持在系统总起飞质量的 1% 以下。因此，扔掉空的燃料和氧化剂箱以及发动机和所有支撑结构，然后使用初始总质量较小的小型火箭是合理的。

这种概念称为分级，可以是串联分级（一级在另一级之上），如美国三叉戟导弹或俄罗斯布拉瓦导弹；也可以是并联分级，如美国航天飞机。还有另一种分级，称为混合分级，它是上述两种基本类型的组合。混合分级的例子有苏联/俄罗斯联盟号火箭和美国德尔塔 IV 火箭。

最经济的级数是 2 到 5 级。多级设计的一个优点是，每级都可以使用最适合其特定运行条件的不同类型的发动机。例如，下级发动机或发动机设计用于大气压，而上级可以使用设计用于近真空的发动机。

对于由n级组成的多级火箭，最终速度增量 Δ v f确定为